Thực đơn
Mệnh_đề_toán_học
Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c,... khi dùng các phép toán logic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác:
a) Mỗi mệnh đề gọi là một công thức.b) Nếu P, Q là những công thức thì P ¯ {\displaystyle {\overline {P}}} , P Λ Q, P ν Q, P ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } Q, P ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } Q cũng đều là công thức.c) Mọi dãy ký hiệu khác không xác định theo quy tắc a), b) đều không phải là công thức.Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của các phép toán logic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lý, dùng bảng chân lý của các phép logic ta khẳng định được công thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là mệnh đề đúng (hoặc sai) thì ta nói công thức P có giá trị chân lý bằng 1 (hoặc 0).
Ví dụ:
| a | a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} | a Λ a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} | a ∧ a ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {a\land {\overline {a}}}}} |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| a | b | a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} | b ¯ {\displaystyle {\overline {b}}} | a → b {\displaystyle a\rightarrow b} | b ¯ → a ¯ {\displaystyle {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}} | ( a → b ) ⇔ ( b ¯ → a ¯ ) {\displaystyle (a\rightarrow b)\Leftrightarrow ({\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}})} | ( a → b ) ⇔ ( b ¯ → a ¯ ) ¯ {\displaystyle {\overline {(a\rightarrow b)\Leftrightarrow ({\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}})}}} |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương logic với nhau, ký hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lý gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lý như nhau.
Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương logic, ký hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai.
Chú ý:
1. Ký hiệu a ≡ b là để chỉ hai mệnh đề tương đương logic chứ không phải là hai mệnh đề bằng nhau.2. Hai mệnh đề tương đương logic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không có liên quan. Chẳng hạn: "Tháng 2 có 31 ngày ≡ 2 + 2 = 11".3. Quan hệ P ≡ Q còn được gọi là một đẳng thức.Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong logic mệnh đề:
Người ta còn dùng ký hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng (hoặc luôn luôn sai). Ta có các đẳng thức sau về 0 và 1:
(18) a Λ 0 ≡ 0(19) a ν 0 ≡ a(20) a Λ 1 ≡ a(21) a ν 1 ≡ 1(22) a ν a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} ≡ 1 (luật bài trung)(23) a Λ a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} ≡ 0 (luật mâu thuẫn)Để chứng minh một đẳng thức trong logic mệnh đề ta thường dùng phương pháp lập bảng giá trị chân lý.
Ví dụ 1: Chứng minh: a ∧ b ¯ {\displaystyle {\overline {a\land b}}} ≡ a ¯ ∨ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\vee {\overline {b}}}
| a | b | a ∧ b ¯ {\displaystyle {\overline {a\land b}}} | a ¯ ∨ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\vee {\overline {b}}} |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức a ∧ b ¯ {\displaystyle {\overline {a\land b}}} và a ¯ ∨ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\vee {\overline {b}}} luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh: a → b {\displaystyle a\rightarrow b} ≡ b ¯ → a ¯ {\displaystyle {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}}
| a | b | a → b {\displaystyle a\rightarrow b} | b ¯ → a ¯ {\displaystyle {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}} |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức a → b {\displaystyle a\rightarrow b} và b ¯ → a ¯ {\displaystyle {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}} luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Thực đơn
Mệnh_đề_toán_họcLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Mệnh_đề_toán_học